Решение простейших тригонометрических уравнений. Тригонометрия

Одним из разделов математики, с которыми школьники справляются с наибольшими трудностями, является тригонометрия. Неудивительно: для того чтобы свободно овладеть этой областью знаний, требуется наличие пространственного мышления, умение находить синусы, косинусы, тангенсы, котангенсы по формулам, упрощать выражения, уметь применять в вычислениях число пи. Помимо этого, нужно уметь применять тригонометрию при доказательстве теорем, а это требует либо развитой математической памяти, либо умения выводить непростые логические цепочки.

Истоки тригонометрии

Знакомство с данной наукой следует начать с определения синуса, косинуса и тангенса угла, однако прежде необходимо разобраться, чем вообще занимается тригонометрия.

Исторически главным объектом исследования данного раздела математической науки были прямоугольные треугольники. Наличие угла в 90 градусов дает возможность осуществлять различные операции, позволяющие по двум сторонам и одному углу либо по двум углам и одной стороне определять значения всех параметров рассматриваемой фигуры. В прошлом люди заметили эту закономерность и стали активно ею пользоваться при строительстве зданий, навигации, в астрономии и даже в искусстве.

Начальный этап

Первоначально люди рассуждали о взаимоотношении углов и сторон исключительно на примере прямоугольных треугольников. Затем были открыты особые формулы, позволившие расширить границы употребления в повседневной жизни данного раздела математики.

Изучение тригонометрии в школе сегодня начинается с прямоугольных треугольников, после чего полученные знания используются учениками в физике и решении абстрактных тригонометрических уравнений, работа с которыми начинается в старших классах.

Сферическая тригонометрия

Позже, когда наука вышла на следующий уровень развития, формулы с синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом стали использоваться в сферической геометрии, где действуют иные правила, а сумма углов в треугольнике всегда больше 180 градусов. Данный раздел не изучается в школе, однако знать о его существовании необходимо как минимум потому, что земная поверхность, да и поверхность любой другой планеты, является выпуклой, а значит, любая разметка поверхности будет в трёхмерном пространстве «дугообразной».

Возьмите глобус и нитку. Приложите нитку к двум любым точкам на глобусе, чтобы она оказалась натянутой. Обратите внимание - она обрела форму дуги. С такими формами и имеет дело сферическая геометрия, применяющаяся в геодезии, астрономии и других теоретических и прикладных областях.

Прямоугольный треугольник

Немного узнав про способы применения тригонометрии, вернемся к базовой тригонометрии, чтобы в дальнейшем разобраться, что такое синус, косинус, тангенс, какие расчёты можно с их помощью выполнять и какие формулы при этом использовать.

Первым делом необходимо уяснить понятия, относящиеся к прямоугольному треугольнику. Во-первых, гипотенуза - это сторона, лежащая напротив угла в 90 градусов. Она является самой длинной. Мы помним, что по теореме Пифагора её численное значение равно корню из суммы квадратов двух других сторон.

Например, если две стороны равны 3 и 4 сантиметрам соответственно, длина гипотенузы составит 5 сантиметров. Кстати, об этом знали ещё древние египтяне около четырех с половиной тысяч лет назад.

Две оставшиеся стороны, которые образуют прямой угол, носят название катетов. Кроме того, надо помнить, что сумма углов в треугольнике в прямоугольной системе координат равняется 180 градусам.

Определение

Наконец, твердо понимая геометрическую базу, можно обратиться к определению синуса, косинуса и тангенса угла.

Синусом угла называется отношение противолежащего катета (т. е. стороны, располагающейся напротив нужного угла) к гипотенузе. Косинусом угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Запомните, что ни синус, ни косинус не может быть больше единицы! Почему? Потому что гипотенуза - это по умолчанию самая длинная Каким бы длинным ни был катет, он будет короче гипотенузы, а значит, их отношение всегда будет меньше единицы. Таким образом, если у вас в ответе к задаче получился синус или косинус со значением, большим, чем 1, ищите ошибку в расчётах или рассуждениях. Этот ответ однозначно неверен.

Наконец, тангенсом угла называется отношение противолежащей стороны к прилежащей. Тот же самый результат даст деление синуса на косинус. Посмотрите: в соответствии с формулой мы делим длину стороны на гипотенузу, после чего делим на длину второй стороны и умножаем на гипотенузу. Таким образом, мы получаем то же самое соотношение, что и в определении тангенса.

Котангенс, соответственно, представляет собой отношение прилежащей к углу стороны к противолежащей. Тот же результат мы получим, разделив единицу на тангенс.

Итак, мы рассмотрели определения, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс, и можем заняться формулами.

Простейшие формулы

В тригонометрии не обойтись без формул - как найти синус, косинус, тангенс, котангенс без них? А ведь именно это требуется при решении задач.

Первая формула, которую необходимо знать, начиная изучать тригонометрию, говорит о том, что сумма квадратов синуса и косинуса угла равна единице. Данная формула является прямым следствием теоремы Пифагора, однако позволяет сэкономить время, если требуется узнать величину угла, а не стороны.

Многие учащиеся не могут запомнить вторую формулу, также очень популярную при решении школьных задач: сумма единицы и квадрата тангенса угла равна единице, деленной на квадрат косинуса угла. Присмотритесь: ведь это то же самое утверждение, что и в первой формуле, только обе стороны тождества были поделены на квадрат косинуса. Выходит, простая математическая операция делает тригонометрическую формулу совершенно неузнаваемой. Помните: зная, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс, правила преобразования и несколько базовых формул вы в любой момент сможете сами вывести требуемые более сложные формулы на листе бумаги.

Формулы двойного угла и сложения аргументов

Ещё две формулы, которые требуется выучить, связаны со значениями синуса и косинуса при сумме и разности углов. Они представлены на рисунке ниже. Обратите внимание, что в первом случае оба раза перемножается синус и косинус, а во втором складывается попарное произведение синуса и косинуса.

Также существуют формулы, связанные с аргументами в виде двойного угла. Они полностью выводятся из предыдущих - в качестве тренировки попробуйте получить их самостоятельно, приняв угол альфа равным углу бета.

Наконец, обратите внимание, что формулы двойного угла можно преобразовать так, чтобы понизить степень синуса, косинуса, тангенса альфа.

Теоремы

Двумя основными теоремами в базовой тригонометрии являются теорема синусов и теорема косинусов. С помощью этих теорем вы легко сможете понять, как найти синус, косинус и тангенс, а значит, и площадь фигуры, и величину каждой стороны и т. д.

Теорема синусов утверждает, что в результате деления длины каждой из сторон треугольника на величину противолежащего угла мы получим одинаковое число. Более того, это число будет равно двум радиусам описанной окружности, т. е. окружности, содержащей все точки данного треугольника.

Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора, проецируя её на любые треугольники. Оказывается, из суммы квадратов двух сторон вычесть их произведение, умноженное на двойной косинус смежного им угла - полученное значение окажется равно квадрату третьей стороны. Таким образом, теорема Пифагора оказывается частным случаем теоремы косинусов.

Ошибки по невнимательности

Даже зная, что такое синус, косинус и тангенс, легко совершить ошибку из-за рассеянности внимания или ошибки в простейших расчётах. Чтобы избежать таких ошибок, ознакомимся с наиболее популярными из них.

Во-первых, не следует преобразовывать обыкновенные дроби в десятичные до получения окончательного результата - можно и ответ оставить в виде обыкновенной дроби, если в условии не оговорено обратное. Такое преобразование нельзя назвать ошибкой, однако следует помнить, что на каждом этапе задачи могут появиться новые корни, которые по задумке автора должны сократиться. В этом случае вы напрасно потратите время на излишние математические операции. Особенно это актуально для таких значений, как корень из трёх или из двух, ведь они встречаются в задачах на каждом шагу. То же касается округлений «некрасивых» чисел.

Далее, обратите внимание, что к любому треугольнику применима теорема косинусов, но не теорема Пифагора! Если вы по ошибке забудете вычесть удвоенное произведение сторон, умноженное на косинус угла между ними, вы не только получите совершенно неверный результат, но и продемонстрируете полное непонимание предмета. Это хуже, чем ошибка по невнимательности.

В-третьих, не путайте значения для углов в 30 и 60 градусов для синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов. Запомните эти значения, ведь синус 30 градусов равен косинусу 60, и наоборот. Их легко перепутать, вследствие чего вы неизбежно получите ошибочный результат.

Применение

Многие ученики не спешат приступать к изучению тригонометрии, поскольку не понимают её прикладного смысла. Что такое синус, косинус, тангенс для инженера или астронома? Это понятия, благодаря которым можно вычислить расстояние до далёких звёзд, предсказать падение метеорита, отправить исследовательский зонд на другую планету. Без них нельзя построить здание, спроектировать автомобиль, рассчитать нагрузку на поверхность или траекторию движения предмета. И это только самые очевидные примеры! Ведь тригонометрия в том или ином виде используется повсюду, начиная от музыки и заканчивая медициной.

В заключение

Итак, вы синус, косинус, тангенс. Вы можете использовать их в расчётах и успешно решать школьные задачи.

Вся суть тригонометрии сводится к тому, что по известным параметрам треугольника нужно вычислить неизвестные. Всего этих параметров шесть: длины трёх сторон и величины трёх углов. Всё различие в задачах заключается в том, что даются неодинаковые входные данные.

Как найти синус, косинус, тангенс исходя из известных длин катетов или гипотенузы, вы теперь знаете. Поскольку эти термины обозначают не что иное, как отношение, а отношение - это дробь, главной целью тригонометрической задачи становится нахождение корней обычного уравнения либо же системы уравнений. И здесь вам поможет обычная школьная математика.

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория "Ахиллес и черепаха". Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что "... дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось... к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса... " [Википедия, " Апории Зенона "]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие "бесконечность" в этой ситуации, то правильно будет говорить "Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху".

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию "Ахиллес и черепаха" очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто - достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве - это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, "во множестве не может быть двух идентичных элементов", но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется "мультимножество". Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова "совсем". Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой "чур, я в домике", точнее "математика изучает абстрактные понятия", есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его "математическое множество зарплаты". Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: "к другим это применять можно, ко мне - низьзя!". Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами - на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально...

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует - всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова - значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов - у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких "мыслимое как не единое целое" или "не мыслимое как единое целое".

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа - это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу "Сумма цифр числа". Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры - это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: "Найти сумму графических символов, изображающих любое число". Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы - элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки - это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот "курсы кройки и шитья" от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых - нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Табличка на двери Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
- Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский... Нимб сверху и стрелочка вниз - это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А - это не "минус четыре градуса" или "один а". Это "какающий человек" или число "двадцать шесть" в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол - это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол - меньший 90 градусов.

Тупой угол - больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» - не оскорбление, а математический термин:-)

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .

Угол обозначается соответствующей греческой буквой .

Гипотенуза прямоугольного треугольника - это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты - стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим .

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение противолежащего катета к прилежащему:

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

Давайте докажем некоторые из них.

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов - свое соотношение, для сторон - свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс - их еще называют тригонометрическими функциями угла - дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .

Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

1. В треугольнике угол равен , . Найдите .

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку , .

2 . В треугольнике угол равен , , . Найдите .

Найдем по теореме Пифагора.

Задача решена.

Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы .

Треугольник с углами и - равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников - то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника . Об этом - в следующей статье.

Справочные данные по тангенсу (tg x) и котангенсу (ctg x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица тангенсов и котангенсов, производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.

Геометрическое определение

|BD| - длина дуги окружности с центром в точке A .
α - угол, выраженный в радианах.

Тангенс (tg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB| .

Котангенс (ctg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC| .

Тангенс

Где n - целое.

В западной литературе тангенс обозначается так:
.
;
;
.

График функции тангенс, y = tg x

Котангенс

Где n - целое.

В западной литературе котангенс обозначается так:
.
Также приняты следующие обозначения:
;
;
.

График функции котангенс, y = ctg x

Свойства тангенса и котангенса

Периодичность

Функции y = tg x и y = ctg x периодичны с периодом π .

Четность

Функции тангенс и котангенс - нечетные.

Области определения и значений, возрастание, убывание

Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n - целое).

	y = tg x	y = ctg x
Область определения и непрерывность
Область значений	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Возрастание		-
Убывание	-
Экстремумы	-	-
Нули, y = 0
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 0	-

Формулы

Выражения через синус и косинус

; ;
; ;
;

Формулы тангенса и котангенс от суммы и разности

Остальные формулы легко получить, например

Произведение тангенсов

Формула суммы и разности тангенсов

В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента.

Выражения через комплексные числа

Выражения через гиперболические функции

;
;

Производные

; .

.
Производная n-го порядка по переменной x от функции :
.
Вывод формул для тангенса > > > ; для котангенса > > >

Интегралы

Разложения в ряды

Чтобы получить разложение тангенса по степеням x , нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга , . При этом получаются следующие формулы.

При .

при .
где B n - числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения:
;
;
где .
Либо по формуле Лапласа:

Обратные функции

Обратными функциями к тангенсу и котангенсу являются арктангенс и арккотангенс , соответственно.

Арктангенс, arctg

, где n - целое.

Арккотангенс, arcctg

, где n - целое.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.